Question

7．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
①y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）
②y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]
③y=sin（-$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）
④y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 對于①y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得它的單調(diào)區(qū)間．
對于②y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，先利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得它的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，進一步確定它的單調(diào)區(qū)間．
對于③y=sin（-$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）=-sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$），求得t=sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）的增區(qū)間，即為函數(shù)y的減區(qū)間；求得t=sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）的減區(qū)間，即為函數(shù)y的增區(qū)間，
對于④y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），函數(shù)y的增區(qū)間即函數(shù)t=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$） 在滿足t＞0時的減區(qū)間；函數(shù)y的減區(qū)間即函數(shù)t=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$） 在滿足t＞0時的增區(qū)間，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象得出結(jié)論．

解答 解：①對于函數(shù)y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得4kπ-$\frac{5π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{π}{3}$，故函數(shù)的增區(qū)間為[4kπ-$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得4kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{7π}{3}$，故函數(shù)的減區(qū)間為[4kπ+$\frac{π}{3}$，4kπ+$\frac{7π}{3}$]，k∈Z．
②對于函數(shù)y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得4kπ-$\frac{5π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{π}{3}$，故函數(shù)的增區(qū)間為[4kπ-$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
再結(jié)合x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，可得增區(qū)間為∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得4kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{7π}{3}$，故函數(shù)的減區(qū)間為[4kπ+$\frac{π}{3}$，4kπ+$\frac{7π}{3}$]，k∈Z．
再結(jié)合x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，可得減區(qū)間為∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]．
③對于函數(shù)y=sin（-$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）=-sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得4kπ-$\frac{2π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{4π}{3}$，故函數(shù)的減區(qū)間為[4kπ-$\frac{2π}{3}$，4kπ+$\frac{4π}{3}$]，k∈Z；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得4kπ+$\frac{4π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{10π}{3}$，故函數(shù)的增區(qū)間為[4kπ+$\frac{4π}{3}$，4kπ+$\frac{10π}{3}$]，k∈Z．
④對于函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），由題意可得，函數(shù)y的增區(qū)間即函數(shù)t=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$） 在滿足t＞0時的減區(qū)間，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$＜2kπ+π，k∈Z，求得4kπ+$\frac{π}{3}$≤x＜4kπ+$\frac{4π}{3}$，故函數(shù)y的增區(qū)間為[4kπ+$\frac{π}{3}$，4kπ+$\frac{4π}{3}$），k∈Z．
函數(shù)y的減區(qū)間即函數(shù)t=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$） 在滿足t＞0時的增區(qū)間，
令2kπ＜$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得4kπ-$\frac{2π}{3}$＜x≤4kπ+$\frac{π}{3}$，故函數(shù)y的增區(qū)間為（4kπ-$\frac{2π}{3}$．4kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性的應用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．