Question

10．如圖所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)．
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求三棱錐E-ABD的體積．

Answer 1

分析 （1）取AE中點(diǎn)G，連接DG、FG，由三角形中位線的性質(zhì)得到FG∥AB，進(jìn)一步得到FG∥平面ABC，再由已知證出四邊形ACDG為平行四邊形，
得到DG∥AC，即DG∥平面ABC，由面面平行的判定得平面DFG∥平面ABC，進(jìn)一步得到DF∥平面ABC；
（2）把三棱錐E-ABD的體積轉(zhuǎn)化為求三棱錐B-AED的體積，然后通過解三角形求得三棱錐B-AED的底面邊長和高，則棱錐的體積可求．

解答 （1）證明：如圖，
取AE中點(diǎn)G，連接DG、FG，
∵F是BE的中點(diǎn)，∴FG∥AB，則FG∥平面ABC，
∵AE和CD都垂直于平面ABC，∴AE∥CD，
又AE=2，CD=1，∴AG=CD，
則四邊形ACDG為平行四邊形，∴DG∥AC，則DG∥平面ABC，
又FG∩DG=G，∴平面DFG∥平面ABC，
則DF∥平面ABC；
（2）解：∵AB=2，△ABC是正三角形，∴AC=2，
∵AE⊥平面ABC，∴EA⊥AC，
則${S}_{△EAD}=\frac{1}{2}×2×2=2$，
又平面EACD⊥面ABC，
在平面ABC內(nèi)過B作BH⊥AC，則AH⊥面ACDE，
在等邊三角形ABC中，求得AH=$\sqrt{3}$，
∴${V}_{E-ABD}={V}_{B-AED}=\frac{1}{3}{S}_{AED}•AH$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．