Question

15．若在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{BC}$|=5，|$\overrightarrow{AC}$|=4，則|5$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$|=$4\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件便可得出△ABC為直角三角形，并可得到$cosB=\frac{3}{5}$，從而得出$cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BC}＞=-\frac{3}{5}$，這樣便可得出$|5\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}{|}^{2}$的值，從而得出$|5\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|$的值．

解答 解：如圖，根據(jù)條件知，△ABC為Rt△；
∴$cosB=\frac{3}{5}$；
∴$cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BC}＞=-\frac{3}{5}$；
∴$|5\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}{|}^{2}=25{\overrightarrow{AB}}^{2}+10\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$$+{\overrightarrow{BC}}^{2}=25×9-6×15+25=160$；
∴$|5\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|=4\sqrt{10}$．
故答案為：$4\sqrt{10}$．

點評 考查直角三角形邊的關(guān)系，余弦函數(shù)的定義，向量夾角的概念，以及向量數(shù)量積的運算及計算公式，要求$|5\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|$而求$|5\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}{|}^{2}$的方法．