Question

9．在△ABC中角A、B、C的對邊別是a，b，c，（2b-c）cosA=acosC，c=2$\sqrt{3}$，若b∈[1，3]，則a的最小值為3．

Answer 1

分析 利用正弦定理化簡已知的等式，再利用兩角和的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，根據(jù)sinB不為0，得到cosA的值，利用余弦定理即可求得a²=（b-$\sqrt{3}$）²+9，結(jié)合b的范圍即可得解．

解答 解：將（2b-c）cosA=acosC代入正弦定理得：（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC，
即2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin（A+C）=sinB，
由B∈（0，180°），得到sinB≠0，
所以cosA=$\frac{1}{2}$，
因為c=2$\sqrt{3}$，
所以由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+12-2$\sqrt{3}$b=（b-$\sqrt{3}$）²+9，
因為：b∈[1，3]，
所以當(dāng)b=$\sqrt{3}$時，a的最小值為：3．
故答案為：3．

點評 此題考查學(xué)生靈活運用正弦定理化簡求值，靈活運用兩角和的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡求值，屬于中檔題．