Question

10．若鈍角三角形ABC三內(nèi)角A，B，C的度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊長(zhǎng)與最小邊長(zhǎng)的比為m，則m的取值范圍是（　�。�

• A． 1＜m≤2
• B． 1＜m＜2
• C． m＞2
• D． m≥2

Answer 1

分析 設(shè)三角形的三邊從小到大依次為a，b，c，根據(jù)A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列得到B為60°，然后利用余弦定理表示出cosB得到一個(gè)關(guān)系式，根據(jù)三角形為鈍角三角形得到a²+b²-c²＜0，把求得的關(guān)系式代入不等式即可求得最大邊c與最小邊a比值即m的范圍．

解答 解：設(shè)三角形的三邊從小到大依次為a，b，c，
因?yàn)槿齼?nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，所以2B=A+C，則A+B+C=3B=180°，
故可得B=60°，根據(jù)余弦定理得：cosB=cos60°=$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，
于是b²=a²+c²-ac，
又因?yàn)椤鰽BC為鈍角三角形，故a²+b²-c²＜0，
于是2a²-ac＜0，即$\frac{c}{a}$＞2
則m=$\frac{c}{a}＞2$即m＞2，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解三角形的應(yīng)用，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及鈍角三角形三邊的平方關(guān)系，靈活運(yùn)用余弦定理化簡(jiǎn)求值，是解決本題的關(guān)鍵．