Question

7．在（1+2x-$\frac{1}{{x}^{2016}}$）¹⁰的展開式中，x²項的系數(shù)為180．

Answer 1

分析 （1+2x-$\frac{1}{{x}^{2016}}$）¹⁰的展開式中，通項公式T_r+1=${∁}_{10}^{r}$$（1+2x）^{10-r}（-\frac{1}{{x}^{2016}}）^{r}$，令r=0，可得：T₁=（1+2x）¹⁰，再考慮其通項公式即可得出．

解答 解：（1+2x-$\frac{1}{{x}^{2016}}$）¹⁰的展開式中，通項公式T_r+1=${∁}_{10}^{r}$$（1+2x）^{10-r}（-\frac{1}{{x}^{2016}}）^{r}$，
必須令r=0，可得：T₁=（1+2x）¹⁰，
其中（1+2x）¹⁰的展開式的通項公式：T_k+1=${∁}_{10}^{k}$（2x）^k=${2}^{k}{∁}_{10}^{k}{x}^{k}$，
令k=2，可得x²項的系數(shù)為${2}^{2}{∁}_{10}^{2}$．
∴在（1+2x-$\frac{1}{{x}^{2016}}$）¹⁰的展開式中，x²項的系數(shù)=${2}^{2}{∁}_{10}^{2}$=180．
故答案為：180．

點評 本題考查了二項式定理的應(yīng)用、組合數(shù)的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．