Question

8．已知sinα+cosα=$\frac{1}{3}$，且0＜α＜π．求sin2α，cos2α，tan2α的值．

Answer 1

分析 把所給的等式平方利用二倍角公式求得sin2α的值，再結(jié)合2α∈（π，$\frac{3π}{2}$）以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos2α、tan2α的值．

解答 解：∵sinα+cosα=$\frac{1}{3}$，且0＜α＜π，平方可得1+2sinαcosα=$\frac{1}{9}$，∴sin2α=2sinαcosα=-$\frac{8}{9}$∈（-1，-$\frac{π}{4}$），
∴α為鈍角，且α∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），∴2α∈（π，$\frac{3π}{2}$），∴cos2α=-$\sqrt{1{-sin}^{2}2α}$=-$\frac{\sqrt{17}}{9}$，
∴tan2α=$\frac{sin2α}{cos2α}$=$\frac{8\sqrt{17}}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題．