Question

3．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{x}{2}$）ⁿ的展開式中，前三項系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求展開式中含有$\sqrt{{x}^{11}}$的項的二項式系數(shù)及項的系數(shù)；
（2）求展開式中所有項的系數(shù)之和．

Answer 1

分析 （1）寫出二項展開式的通項，由題意求出n，再代入通項求得展開式中含有$\sqrt{{x}^{11}}$的項的二項式系數(shù)及項的系數(shù)；
（2）直接在二項式中取x=1求得展開式中所有項的系數(shù)之和．

解答 解：（1）由${T}_{r}={C}_{n}^{r}（\sqrt{x}）^{n-r}（\frac{x}{2}）^{r}$=$（\frac{1}{2}）^{r}{C}_{n}^{r}{x}^{\frac{n+r}{2}}$．
知展開式中前三項的系數(shù)分別是：${C}_{n}^{0}，\frac{1}{2}{C}_{n}^{1}，\frac{1}{4}{C}_{n}^{2}$，
則1+$\frac{1}{4}{C}_{n}^{2}$=${C}_{n}^{1}$，解得：n=8．
∴展開式中含有$\sqrt{{x}^{11}}$的項為第4項，其二項式系數(shù)為${C}_{8}^{3}$=56；
項的系數(shù)為$（\frac{1}{2}）^{3}×56=7$；
（2）展開式中所有項的系數(shù)之和為$（1+\frac{1}{2}）^{8}=（\frac{3}{2}）^{8}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查了二項式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是注意項的系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)別，是基礎(chǔ)題．