Question

8．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{1}{2}$，過右焦點且垂直于x軸的直線被橢圓所截得的弦長為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）A，B兩點分別為橢圓C的左右頂點，P為橢圓上異于A，B的一點，記直線PA，PB的斜率分別為k_PA，k_PB，求k_PA•k_PB的值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式及通徑公式，聯(lián)立即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）根據(jù)直線的斜率公式，由y²=3（1-$\frac{{x}^{2}}{4}$），代入即可求得k_PA•k_PB的值．

解答 解：（1）由橢圓離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，則a²=2b²，
過右焦點且垂直于x軸的直線被橢圓所截得的弦長為3，$\frac{2^{2}}{a}$=3，
解得：a²=4，b²=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由（1）有A，B兩點坐標為A（-2，0），B（2，0），
設(shè)P坐標為（x，y），則直線PA，PB斜率分別為k_PA=$\frac{y}{x+2}$，k_PA=$\frac{y}{x-2}$，
∴k_PA•k_PB=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}$，
又因為點P在橢圓C上，則y²=3（1-$\frac{{x}^{2}}{4}$），
∴k_PA•k_PB=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}$=$\frac{\frac{3（4-{x}^{2}）}{4}}{{x}^{2}-4}$=-$\frac{3}{4}$，

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．