Question

20．已知橢圓 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分割為 F₁，F(xiàn)₂，左右端點分別為曲 A₁，A₂，拋物線 y²=4x與橢圓相交于A，B兩點且其焦點與 F₂重合，AF₂=$\frac{5}{3}$
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點 $（\frac{2}{7}，0）$作直線 l與橢圓相交于P，Q兩點（不與 A₁，A₂重合），求 $\overrightarrow{{A_2}P}$與 $\overrightarrow{{A_2}Q}$夾角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)A（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），求出拋物線y²=4x的焦點坐標，可得c²=1，進而分析可得A的坐標，代入橢圓的方程可得有$\frac{4}{9{a}^{2}}$+$\frac{24}{9（{a}^{2}-1）}$=1，解可得a²=4，進而可得b²=3，即可得橢圓的方程；
（Ⅱ）根據(jù)題意，分兩種情況討論：①當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=$\frac{2}{7}$，②當直線l的斜率存在且不為0時，設(shè)其斜率為k，則直線的方程為y=k（x-$\frac{2}{7}$）；每種情況下求出${k}_{{A}_{2}P}$與${k}_{{A}_{2}Q}$的值，再求其乘積均可得${k}_{{A}_{2}P}$•${k}_{{A}_{2}Q}$=-1，由向量數(shù)量積的性質(zhì)分析可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)A（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），
拋物線y²=4x與橢圓相交于A，B兩點且其焦點與 F₂重合，而拋物線 y²=4x的焦點為（1，0），
則C²=1，
由題意可得AF₂=x₀+$\frac{p}{2}$=x₀+1=$\frac{5}{3}$，故x₀=$\frac{2}{3}$；
所以y₀²=4×$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{3}$，則y₀=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
則A（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
有$\frac{4}{9{a}^{2}}$+$\frac{24}{9（{a}^{2}-1）}$=1，解可得a²=4，
又由c²=1，則b²=3，
故橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）①當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=$\frac{2}{7}$，由于$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x=\frac{2}{7}}\end{array}\right.$，可得$\frac{{y}^{2}}{3}$=1-$\frac{1}{49}$=$\frac{48}{49}$，
所以y=±$\frac{12}{7}$，所以P（$\frac{2}{7}$，$\frac{12}{7}$）Q（$\frac{2}{7}$，-$\frac{12}{7}$），因為A₂（2，0），所以${k}_{{A}_{2}P}$=-1，${k}_{{A}_{2}Q}$=1，
所以${k}_{{A}_{2}P}$•${k}_{{A}_{2}Q}$=-1，所以所以A₂P與A₂Q垂直，
②當直線l的斜率存在且不為0時，設(shè)其斜率為k，則直線的方程為y=k（x-$\frac{2}{7}$）；
聯(lián)立可得$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\\{y=k（x-\frac{2}{7}）}\end{array}\right.$，⇒49（3+4k²）x²-112k²x+16k²-12×49=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），A₂（2，0），
則x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}}{7（3+4{k}^{2}）}$，x₁•x₂=$\frac{16{k}^{2}-12×49}{49（3+4{k}^{2}）}$，
${k}_{{A}_{2}P}$=$\frac{{y}_{1}}{（{x}_{1}-2）}$，${k}_{{A}_{2}Q}$═$\frac{{y}_{2}}{（{x}_{2}-2）}$
${k}_{{A}_{2}P}$•${k}_{{A}_{2}Q}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=-1，
所以A₂P與A₂Q垂直，
綜合可得所以$\overrightarrow{{A_2}P}$與$\overrightarrow{{A_2}Q}$夾角的大小為90°．

點評 本題考查直線與橢圓方程的綜合運用，涉及拋物線的簡單性質(zhì)，解題注意圓錐曲線的方程的標準形式，本題求出拋物線的焦點是解題的突破點之一．