Question

15．已知函數f（x）是定義域為R的偶函數，當x≥0時，f（x）=-x²+2x．
（1）寫出該函數的解析式；
（2）在給定的圖示中畫出函數f（x）的圖象（不需列表）；
（3）寫出該函數值域，單調區(qū)間（不要求證明）．

Answer 1

分析 （1）設x＜0，則-x＞0，根據函數f（x）為R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=-x²+2x+1，可得函數解析式；
（2）根據函數的解析式，可得函數的圖象；
（3）利用函數的圖象，可得函數的單調區(qū)間與函數的值域．

解答 解：（1）設x＜0，則-x＞0
因為函數f（x）為R上的偶函數，所以f（x）=f（-x）=-x²-2x
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{-{x}^{2}-2x，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）函數f（x）的圖象如圖所示：

（3）由圖象可知：f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，-1），（0，1），f（x）的單調減區(qū)間為（-1，0），（1，+∞），f（x）的值域是（-∞，1]．

點評 本題考查函數的解析式，考查函數的奇偶性，考查函數的圖象，考查數形結合的數學思想，屬于中檔題．