Question

1．若y²=x的拋物線上存在兩點P，Q關于直線x+y-2=0對稱，O為坐標原點，求△POQ的面積．

Answer 1

分析 求出P，Q的坐標，確定OP⊥OQ，利用三角形面積的關系，即可求△POQ的面積．

解答 解：設P（x，y），則關于直線x+y-2=0對稱的點的坐標為（x′，y′），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+x′}{2}+\frac{y+y′}{2}-2=0}\\{\frac{y-y′}{x-x′}=1}\end{array}\right.$，∴x′=2-y，y′=2-x，
∴y²=x且（2-x）²=2-y，
∴x=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，y=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，或x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，y=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
∴P（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$），Q（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$），或Q（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$），P（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$），
∴OP⊥OQ
P（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$），Q（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$），|OP|=$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$，|OQ|=$\sqrt{5-2\sqrt{5}}$，
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}$|OP||OQ|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
Q（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$），P（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$），同理可得S_△OPQ=$\frac{1}{2}$|OP||OQ|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查點關于直線對稱點的求法，考查三角形面積的計算，確定點的坐標是關鍵．