Question

20．等邊三角形ABC中，AB=2，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上運(yùn)動(dòng)，若$\frac{{{S_{△AEF}}}}{{{S_{△ABC}}}}=\frac{1}{3}$，則EF長(zhǎng)度的最小值為（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 1
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 利用正弦定理、三角形的面積公式求得AE•AF=$\frac{4}{3}$，再利用余弦定理、基本不等式，求得EF長(zhǎng)度的最小值．

解答 解：等邊三角形ABC中，若$\frac{{{S_{△AEF}}}}{{{S_{△ABC}}}}=\frac{1}{3}$=$\frac{\frac{1}{2}•AE•AF•sin∠A}{\frac{1}{2}•AB•AC•sin∠A}$=$\frac{AE•AF}{2•2}$，∴AE•AF=$\frac{4}{3}$．
由余弦定理可得EF²=AE²+AF²-2AE•AF•cos60°=AE²+AF²-AE•AF≥2AE•AF-AE•AF=AE•AF=$\frac{4}{3}$，
即EF²≥$\frac{4}{3}$，∴EF≥$\sqrt{\frac{4}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)AE=AF時(shí)，取等號(hào)，故EF長(zhǎng)度的最小值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用、三角形的面積公式、基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．