Question

17．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁=2，M，N分別為AC，B₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：MN∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）線段CC₁上是否存在點Q，使A₁B⊥平面MNQ？說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中點D，連接DM，DB₁，然后由三角形的中位線定理得到MN∥DB₁，再由線面平行的判定定理得答案；
（Ⅱ）連接BC₁，可證QN⊥BC₁，A₁C₁⊥QN，從而可證：A₁B⊥QN，同理可得 A₁B⊥MQ，即可得證A₁B⊥平面MNQ．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）證明：取AB中點D，連接DM，DB₁．
在△ABC中，因為 M為AC中點，所以DM∥BC，$DM=\frac{1}{2}BC$．
在矩形B₁BCC₁中，因為 N為B₁C₁中點，所以B₁N∥BC，${B_1}N=\frac{1}{2}BC$．
所以 DM∥B₁N，DM=BN．
所以  四邊形MDB₁N為平行四邊形，所以 MN∥DB₁．…（4分）
因為 MN?平面ABB₁A₁，DB₁?平面ABB₁A₁，
所以 MN∥平面ABB₁A₁．                         …（6分）
（Ⅱ）解：線段CC₁上存在點Q，且Q為CC₁中點時，
有A₁B⊥平面MNQ． …（8分）
證明如下：連接BC₁．
在正方形BB₁C₁C中易證 QN⊥BC₁．
又A₁C₁⊥平面BB₁C₁C，所以 A₁C₁⊥QN，從而NQ⊥平面A₁BC₁．
所以 A₁B⊥QN．  …（10分）
同理可得 A₁B⊥MQ，所以A₁B⊥平面MNQ．
故線段CC₁上存在點Q，使得A₁B⊥平面MNQ． …（12分）

點評 本小題主要考查空間線面關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．