Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+ax+1，曲線y=f（x）在點（0，1）處的切線為l
（Ⅰ）若直線l的斜率為-3，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)是f（x）區(qū)間[-2，a]上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由條件可得a=-3，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，由導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（Ⅱ）由題意可得當(dāng)函數(shù)在[-2，a]遞增（或遞減），即有f′（x）≥0（或≤0）對x∈[-2，a]成立，只要f′（x）=x²+2x+a在[-2，a]上的最小值（或最大值）大于等于0即可．求出二次函數(shù)的對稱軸，討論區(qū)間[-2，a]和對稱軸的關(guān)系，求得最小值（或最大值），解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）因為f（0）=1，所以曲線y=f（x）經(jīng)過點（0，1），
又f′（x）=x²+2x+a，
曲線y=f（x）在點（0，1）處切線的斜率為-3，
所以f′（0）=a=-3，
所以f′（x）=x²+2x-3．
當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	減

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-3），（1，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（-3，1）；
（Ⅱ）因為函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，a]上單調(diào)，
①當(dāng)函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，a]上單調(diào)遞減時，f′（x）≤0對x∈[-2，a]成立，
即f′（x）=x²+2x+a≤0對x∈[-2，a]成立，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，只需要$\left\{\begin{array}{l}{f′（-2）≤0}\\{f′（a）≤0}\end{array}\right.$，解得-3≤a≤0．
又a＞-2，所以-2＜a≤0；
②當(dāng)函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，a]上單調(diào)遞增，
所以f′（x）≥0對x∈[-2，a]成立，
只要f′（x）=x²+2x+a在[-2，a]上的最小值大于等于0即可．
因為函數(shù)f′（x）=x²+2x+a的對稱軸為x=-1，
當(dāng)-2≤a≤-1時，f′（x）在[-2，a]上的最小值為f′（a），
解f′（a）=a²+3a≥0，得a≥0或a≤-3，所以此種情形不成立；
當(dāng)a＞-1時，f′（x）在[-2，a]上的最小值為f′（-1），
解f′（-1）=1-2+a≥0得a≥1，所以a≥1，
綜上，實數(shù)a的取值范圍是-2＜a≤0或a≥1．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．