Question

17．（1）已知x＞2，求$y=x+\frac{3}{x-2}$的最小值；
（2）已知$0＜x＜\frac{1}{2}$，求y=3x（1-2x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得x-2＞0，變形可得$y=x+\frac{3}{x-2}$=x-2+$\frac{3}{x-2}$+2，應用基本不等式可得；
（2）由題意可得0＜1-2x＜1，變形可得y=3x（1-2x）=$\frac{3}{2}$•2x（1-2x），由基本不等式可得．

解答 解：（1）∵x＞2，∴x-2＞0，
∴$y=x+\frac{3}{x-2}$=x-2+$\frac{3}{x-2}$+2
≥2$\sqrt{（x-2）•\frac{3}{x-2}}$+2=2$\sqrt{3}$+2
當且僅當x-2=$\frac{3}{x-2}$即x=2+$\sqrt{3}$時等號成立．
∴當x=2+$\sqrt{3}$時函數(shù)取最小值2$\sqrt{3}$+2；
（2）∵$0＜x＜\frac{1}{2}$，∴0＜1-2x＜1
∴y=3x（1-2x）=$\frac{3}{2}$•2x（1-2x）
≤$\frac{3}{2}$•$（\frac{2x+1-2x}{2}）^{2}$=$\frac{3}{8}$
當且僅當2x=（1-2x）即x=$\frac{1}{4}$時等號成立．
∴當x=$\frac{1}{4}$時，函數(shù)取最大值$\frac{3}{8}$．

點評 本題考查基本不等式求最值，變形湊出可用基本不等式的形式是解決問題的關鍵，屬基礎題．