Question

從橢圓 +=1，（a＞b＞0）上一點M向x軸作垂線恰好通過橢圓的左焦點F，且它的長軸端點A及短軸端點B的連線AB平行于FM，求橢圓的離心率．

Answer 1

解：（1）∵M(jìn)F₁⊥x軸，AB∥OM，
∴Rt△OMF₁∽Rt△ABO?…（*）設(shè)點M（-c，y₁），代入橢圓方程+=1，
得+=1，解之得y₁=（舍負(fù)），所以MF₁=，
又∵AO=a，BO=b，OF₁=c，
∴將AO、BO、MF₁、OF₁的長代入（*）式，得，
∴b=c，得到b²=c²，即a²-c²=c²，所以a²=2c²，
∴離心率e滿足e²=，可得e=（舍負(fù)）
即所求橢圓的離心率為．
分析：根據(jù)MF₁⊥x軸，AB∥OM，得到Rt△OMF₁∽Rt△ABO，從而得到比例線段：．再根據(jù)點M在橢圓上，求出M的縱坐標(biāo)，得出MF₁=，再結(jié)合AO=a，BO=b，OF₁=c，代入所得比例式，化簡可得b=c，從而求出橢圓的離心率e．
點評：本題結(jié)合一個特殊的橢圓，以求橢圓的離心率為載體，著重考查了橢圓的基本概念、余弦定理和基本不等式等知識點，屬于中檔題．