Question

18．函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}-1}$+$\frac{x}{2}$的大致圖象是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 先根據(jù)函數(shù)的奇偶性，排除AD，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性排除C，問題得以解決．

解答 解：f（x）定義域為{x|x≠0}，
∵f（-x）=$\frac{-x}{{e}^{-x}-1}$+$\frac{-x}{2}$=-x（$\frac{{e}^{x}}{1-{e}^{x}}$+$\frac{1}{2}$）=-x（-$\frac{{e}^{x}-1+1}{{e}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）=-x（-$\frac{1}{{e}^{x}-1}$-1+$\frac{1}{2}$）=$\frac{x}{{e}^{x}-1}$+$\frac{x}{2}$=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，故排除A，D；
∵f′（x）=$\frac{1}{2}$•$\frac{{e}^{2x}-2x{e}^{x}-1}{（{e}^{x}-1）^{2}}$，
設(shè)g（x）=e^2x-2xe^x-1，
∴g′（x）=2e^x（e^x-x-1）＞0，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，排除C，
故選：B

點評 本題考查了函數(shù)的圖象的性質(zhì)，常用的方法是求出函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，屬于中檔題．