Question

2．已知由不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y≥0}\\{y-kx≤2}\\{y-x-4≤0}\\{\;}\end{array}\right.$（k≤0）確定的平面區(qū)域Ω的面積為7，點(diǎn)M（x，y）∈Ω，則z=$\frac{1}{2}x$+y的最大值是$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)陰影部分確定對(duì)應(yīng)的面積，求出k的值，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，進(jìn)行求最值即可．

解答 解：依題意畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y≥0}\\{y-x-4≤0}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域（如右圖所示）
可知其圍成的區(qū)域是等腰直角三角形面積為8，
由直線y=kx+2恒過點(diǎn)B（0，2），且原點(diǎn)的坐標(biāo)恒滿足y-kx≤2，
當(dāng)k=0時(shí)，y≤2，此時(shí)平面區(qū)域Ω的面積為6，
由于6＜7，由此可得k＜0．
由$\left\{\begin{array}{l}{y-kx=2}\\{y-x-4=0}\end{array}\right.$，可得D（$\frac{2}{k-1}$，$\frac{4k-2}{k-1}$），
依題意應(yīng)有$\frac{1}{2}×2•|\frac{2}{k-1}|=1$，
解得k=-1（k=3，舍去）
由z=x-2y得y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y≥0}\\{y+x≤2}\\{y-x-4≤0}\end{array}\right.$對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分）：
由z=$\frac{1}{2}x$+y得y=-$\frac{1}{2}x$+z
平移直線y=-$\frac{1}{2}x$+z，
由圖象可知當(dāng)直線y=-$\frac{1}{2}x$+z，過點(diǎn)D時(shí)，直線y=-$\frac{1}{2}x$+z截距最大，此時(shí)z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y+x=2}\\{y-x-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即D（-1，3）．
代入目標(biāo)函數(shù)z=$\frac{1}{2}x$+y=-$\frac{1}{2}$+3=$\frac{5}{2}$．
∴目標(biāo)函數(shù)z=$\frac{1}{2}x$+y的最大值是$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，先根據(jù)區(qū)域面積求出k的值，以及利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法．