Question

如圖，矩形與梯形所在的平面互相垂直，，，．為的中點(diǎn)．

(1)求證：∥平面：

(2)求直線與平面所成角的正弦值；

(3)求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

 [解析]（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，

在中，分別為的中點(diǎn)，

所以，且

又已知，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形 ，所以又因?yàn)?sub>平面BEC，且平面BEC

所以//平面．

（2）在矩形中，，又因?yàn)槠矫?sub>⊥平面，且平面∩平面，所以⊥平面，又，

所以，取為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立直角坐標(biāo)系，則

設(shè)為平面BEC的一個(gè)法向量．

因?yàn)?sub>＝（－1，1，0），＝（0，－2，3），所以，令x＝1，得y＝1，z＝，所以，,設(shè)與平面所成角為，則

sinα=|cos|==

所以，與平面所成角的正弦值為．

（3）易證⊥平面，取＝為平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則cos＝＝，所以，平面與平面所成銳二面角的余弦值為．