Question

3．下列給出的四個(gè)命題中：
①若等差數(shù)列{a_n}的公差d＞0，則數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是遞增數(shù)列；
②“m=-2“是”直線（m+2）x+my+1=0與（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直“的充分不必要條件；
③已知0＜θ＜$\frac{π}{4}$，則雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{co{s}^{2}θ}$-$\frac{{y}^{2}}{si{n}^{2}θ}$=1與C₂：$\frac{{x}^{2}}{si{n}^{2}θ}$-$\frac{{y}^{2}}{si{n}^{2}θta{n}^{2}θ}$=1的焦距相等；
④在實(shí)數(shù)數(shù)列{a_n}中，a₁=0，|a₂|=|a₁-1|，|a₃|=|a₂-1|，…|a_n|=|a_n-1-1|，則a₁+a₂+a₃+a₄的最大值為2．
其中為真命題的是②④．

Answer 1

分析 舉出反例a_n=n，可判斷①； 根據(jù)直線垂直的充要條件，可判斷②；求出兩個(gè)曲線的焦距，可判斷③；根據(jù)已知分類討論a₁+a₂+a₃+a₄的值，綜合討論結(jié)果，可判斷④．

解答 解：等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n時(shí)，公差d＞0，則數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是常數(shù)列，故①錯(cuò)誤；
直線（m+2）x+my+1=0與（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直?（m+2）（m-2）+m（m+2）=0?m=-2或m=1，故“m=-2“是”直線（m+2）x+my+1=0與（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直“的充分不必要條件，故②正確；
已知0＜θ＜$\frac{π}{4}$，則雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{co{s}^{2}θ}$-$\frac{{y}^{2}}{si{n}^{2}θ}$=1的焦距為$\frac{2}{cosθ}$，C₂：$\frac{{x}^{2}}{si{n}^{2}θ}$-$\frac{{y}^{2}}{si{n}^{2}θta{n}^{2}θ}$=1的焦距為$\frac{2}{sinθ}$，兩者不相等，故③錯(cuò)誤；
若a₁=0，則|a₂|=|a₁-1|=1，即a₂=1，或a₂=-1；
（1）當(dāng)a₂=1時(shí)，|a₃|=|a₂-1|=0，即a₃=0，則a₄=1，或a₄=-1；則當(dāng)且僅當(dāng)a₂=a₄=1時(shí)，a₁+a₂+a₃+a₄的最大值為2
（2）當(dāng)a₂=-1時(shí)，|a₃|=|a₂-1|=2，即a₃=2，或a₃=-2，
1）當(dāng)a₃=-2時(shí)，|a₄|=|a₃-1|=3，a₄=3，或a₄=-3，當(dāng)且僅當(dāng)a₄=3時(shí)，a₁+a₂+a₃+a₄的最大值為0；
2）當(dāng)a₃=2時(shí)，|a₄|=|a₃-1|=1，a₄=1，或a₄=-1，則當(dāng)且僅當(dāng)a₄=1時(shí)，a₁+a₂+a₃+a₄的最大值為2
綜上所述，a₁+a₂+a₃+a₄的最大值為2，故④正確；
故真命題的序號(hào)為：②④，
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，此類題型往往綜合較多的其它知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度中檔．