Question

15．已知（3x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和為16．
（1）求正整數(shù)n的值；
（2）求展開式中x項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由題意可得展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和2ⁿ=16，從而求得n的值．
（2）在（3x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于1，求得 r的值，可得展開式中x項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：（1）由題意可得展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和2ⁿ=16，∴n=4．
（2）（3x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=${C}_{4}^{r}$•3^4-r•${x}^{4-\frac{3r}{2}}$，令4-$\frac{3r}{2}$=1，求得 r=2，
∴展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{4}^{2}$×3²=54．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．