Question

已知函數(shù)。

（1）若f（x）的圖象與g（x）的圖象所在兩條曲線的一個公共點在y軸上，且在該點處兩條曲線的切線互相垂直，求b和c的值。

（2）若a＝c＝1，b＝0，試比較f（x）與g（x）的大小，并說明理由；

（3）若b＝c＝0，證明：對任意給定的正數(shù)a，總存在正數(shù)m，使得當(dāng)x時，

恒有f（x）＞g（x）成立。

Answer 1

（1）（2）當(dāng)時,；當(dāng)時, ；當(dāng)時, ．（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）由題意得，，即（2）構(gòu)造函數(shù)則.當(dāng)時，，，

當(dāng)時，設(shè)，則，當(dāng)時, 取得極小值, 且極小值為，故在上單調(diào)遞增, ，（3）構(gòu)造函數(shù)，則，故在上有最小值，，①若，存在，使當(dāng)時,恒有；若，存在，使當(dāng)時,恒有；③若，存在，使當(dāng)時,恒有；

試題解析：（1）解: ，，， ，， 2分

依題意：，所以； 4分

（2）解: ，時，， 5分

①時，，，即

②時，，，即

③時，令,則.

設(shè)，則，

當(dāng)時, 單調(diào)遞減;當(dāng)時, 單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時, 取得極小值, 且極小值為

即恒成立，故在上單調(diào)遞增,又,

因此,當(dāng)時, ,即. 9分

綜上，當(dāng)時,；當(dāng)時, ；當(dāng)時, ． 10分

（3）

證法一：①若，由（2）知，當(dāng)時, .即，

所以，時，取，即有當(dāng)，恒有.

②若,即，等價于即

令,則.當(dāng)時,在內(nèi)單調(diào)遞增.

取,則，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.

又

即存在,當(dāng)時，恒有. 15分

綜上，對任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)，恒有. 16分

證法二：設(shè)，則，

當(dāng)時，，單調(diào)減，當(dāng)時，，單調(diào)增，

故在上有最小值，， 12分

①若，則在上恒成立，

即當(dāng)時，存在，使當(dāng)時,恒有；

②若，存在，使當(dāng)時,恒有；

③若，同證明一的②， 15分

綜上可得，對任意給定的正數(shù)，總存在,當(dāng)時,恒有. 16分

考點：導(dǎo)數(shù)幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式

考點分析： 考點1：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 考點2：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 試題屬性

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