Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+$\sqrt{2}$=0相切，過(guò)點(diǎn)F₂的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若$\overrightarrow{MF_2}$=3$\overrightarrow{F_2N}$，求直線l的方程；
（3）求△F₁MN面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用離心率公式和直線與相切的條件：d=r，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解得a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）求得右焦點(diǎn)，設(shè)出M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），設(shè)直線l：x=my+$\sqrt{3}$，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，解方程可得m，進(jìn)而得到直線的方程；
（3）運(yùn)用弦長(zhǎng)公式和換元法，運(yùn)用三角形的面積公式可得S=$\frac{1}{2}$•2c•|y₁-y₂|，化簡(jiǎn)整理運(yùn)用基本不等式，即可得到最大值．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由直線x-y+$\sqrt{2}$=0與圓x²+y²=b²相切，可得
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+1}}$=b=1，
又a²-c²=1，
解得a=2，c=$\sqrt{3}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）F₂（$\sqrt{3}$，0），
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
設(shè)直線l：x=my+$\sqrt{3}$，代入橢圓方程可得，
（4+m²）y²+2$\sqrt{3}$my-1=0，
y₁+y₂=-$\frac{2\sqrt{3}m}{4+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{1}{4+{m}^{2}}$，
由$\overrightarrow{MF_2}$=3$\overrightarrow{F_2N}$，可得y₁=-3y₂，
解方程可得m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有直線l的方程為x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+$\sqrt{3}$；
（3）△F₁MN面積為S=$\frac{1}{2}$•2c•|y₁-y₂|=$\sqrt{3}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{3}$•$\sqrt{\frac{12{m}^{2}}{（4+{m}^{2}）^{2}}+\frac{4}{4+{m}^{2}}}$=$\sqrt{3}$•$\frac{4\sqrt{1+{m}^{2}}}{4+{m}^{2}}$，
令1+m²=t（t≥1），則S=4$\sqrt{3}$•$\frac{1}{\sqrt{t}+\frac{3}{\sqrt{t}}}$≤4$\sqrt{3}$•$\frac{1}{2\sqrt{3}}$=2，
當(dāng)t=3，即m=±$\sqrt{2}$時(shí)，S取得最大值，且為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和直線與圓相切的條件，考查向量共線的坐標(biāo)表示，以及直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．