Question

3．已知△ABC中，A（1，1），C（4，2），點(diǎn)B在函數(shù)$y=\sqrt{x}（1＜x＜4）$的圖象上運(yùn)動(dòng)，問點(diǎn)B在何處時(shí)，△ABC的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析 設(shè)B點(diǎn)橫坐標(biāo)為m時(shí)，△ABC的面積最大，由題意可知，AB的長不變，所以當(dāng)點(diǎn)C到直線AB距離最大時(shí)，△ABC的面積S最大．結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求出m的值，進(jìn)而可得面積的最大值．

解答 解：設(shè)B點(diǎn)橫坐標(biāo)為m時(shí)，△ABC的面積最大，
∵AB邊長一定，
∴當(dāng)點(diǎn)C到直線AB距離最大時(shí)，△ABC的面積S最大．
∵A（1，1），B（4，2），
∴直線AB方程為x-3y+2=0．
點(diǎn)C（m，$\sqrt{m}$）到直線AB距離d=$\frac{|m-3\sqrt{m}+2|}{\sqrt{10}}$．
∵1＜m＜4，
∴$\sqrt{m}$=$\frac{3}{2}$，
即m=$\frac{9}{4}$時(shí)，d取最大$\frac{\sqrt{10}}{40}$，
由|AB|=$\sqrt{10}$，
故此時(shí)△ABC的面積S取最大值$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．