Question

已知復(fù)數(shù)z=－i，w=+i，復(fù)數(shù)，z²w³在復(fù)平面上所對應(yīng)的點分別為P、Q，

證明△OPQ是等腰直角三角形(其中O為原點).

Answer 1

證法一：由z=－i=cos(－)+isin(－),

則z³=－i，又w=+i=cos+isin,

 

故w⁴=－1,于是=·= =1

 

由此可得OP⊥OQ,且|OP|=|OQ|，△OPQ有兩邊相等且其夾角為直角，故△OPQ為等腰直角三角形.

證法二：∵z=－i=cos(－)+isin(－)w=+i=cos+isin

∴zw=cos+isin

 

=cos(－)+isin(－),=cos(－+π)+isin(－+π)

 

=cos+isin。

因此，OP與OQ的夾角為－(－)=

所以O(shè)P⊥OQ

又|OP|=||=1，|OQ|=|z²w²|=1,所以|OP|=|OQ|，即得△OPQ是以點Q為直角頂點的等腰直角三角形.

 

證法三：同證法一，得q³=－i. w⁴=－1,

∴|OP|=|z²w³|=|z²||w³|=1

|OQ|=||=|z|·|w|=1

|PQ|²=(z²w³－)

=(z²w³－)(－zw)

=2－z³w⁴－

=2－i－(－i)

=2=|OP|²＋|OQ|²

故△OPQ是以PQ為斜邊的等腰直角三角形.

評述：本題綜合考查復(fù)數(shù)的概念、運算、及其幾何意義等基礎(chǔ)知識，題目設(shè)計形式比較新穎，解題入口較寬，方法靈活，考查了考生基本的邏輯思維能力.