Question

12．設函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+bx²+cx+1（b、c∈R）存在極值點，且在區(qū)間（-∞，-1），（1，+∞）上均為單調增函數(shù)，則f（1）的取值范圍是$[\frac{1}{3}，+∞）$．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，由單調遞區(qū)間的端點可得不等式組，表示出f（1），利用線性規(guī)劃求解表達式的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+bx²+cx+1可得：f'（x）=x²+2bx+c，
依題意有$\left\{\begin{array}{l}f′（-1）＞0\\ f′（1）＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1-2b+c＞0\\ 1+2b+c＞0\end{array}\right.$，f（1）=$\frac{4}{3}+b+c$，

當f（1）=$\frac{4}{3}+b+c$經(jīng)過A時，f（1）取得最小值，由$\left\{\begin{array}{l}1-2b+c=0\\ 1+2b+c=0\end{array}\right.$，可得A（-1，0），

f（1）的最小值為：$\frac{4}{3}+0-1$=$\frac{1}{3}$．
f（1）的取值范圍是：[$\frac{1}{3}，+∞$）．

故答案為：$[\frac{1}{3}，+∞）$．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值以及圖象法，函數(shù)圖象是表述函數(shù)問題的重要工具，因此，巧妙運用函數(shù)圖象，能夠變抽象思維為形象思維，利用線性規(guī)劃，有助于把握數(shù)學問題的本質．