Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知A_n（n，a_n），B_n（n，b_n），C_n（n-1，0），（n∈N^*），滿足向量$\overrightarrow{{A_n}{A_{n+1}}}$與向量$\overrightarrow{{B_n}{C_n}}$共線，且b_n+1-b_n=6若a₁=6，b₁=12．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意得b_n=12+6（n-1）=6（n+1），$\overrightarrow{{A_n}{A_{n+1}}}$=（1，a_n+1-a_n），$\overrightarrow{{B_n}{C_n}}$=（-1，-b_n），從而可得a_n+1-a_n=b_n=6（n+1），利用累加法求通項；
（2）化簡$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），從而利用裂項求和法求前n項和．

解答 解：（1）∵b_n+1-b_n=6，b₁=12；
∴b_n=12+6（n-1）=6（n+1），
∵A_n（n，a_n），B_n（n，b_n），C_n（n-1，0），
∴$\overrightarrow{{A_n}{A_{n+1}}}$=（1，a_n+1-a_n），$\overrightarrow{{B_n}{C_n}}$=（-1，-b_n），
又∵向量$\overrightarrow{{A_n}{A_{n+1}}}$與向量$\overrightarrow{{B_n}{C_n}}$共線，
∴a_n+1-a_n=b_n=6（n+1），
∴a_n-a_n-1=6n，
∴a₂-a₁=12，
a₃-a₂=18，
…
a_n-a_n-1=6n；
相加可得，
a_n-a₁=12+18+…+6n，
故a_n=6+12+18+…+6n=$\frac{6+6n}{2}$n，
故a_n=3（n+1）n，
（2）$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
故T_n=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{3n+3}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的通項公式的求法及前n項和公式的應(yīng)用，同時考查了平面向量的應(yīng)用．