Question

1．設(shè)$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$是不共線的兩個向量，已知$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，若A、B、D三點(diǎn)共線，求k的值．

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量的共線定理，利用平面向量的坐標(biāo)表示，列出方程組，求出k的值．

解答 解：∵A、B、D三點(diǎn)共線，
∴必存在實(shí)數(shù)λ，使$\overrightarrow{AB}=λ\overrightarrow{BD}$，
又$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$
=（-$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）+（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）
=$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$，
∴2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$=λ（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$）=λ$\overrightarrow{a}$-4λ$\overrightarrow$，
即（λ-2）$\overrightarrow{a}$=（k+4λ）$\overrightarrow$，
又$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不共線，
∴$\left\{{\begin{array}{l}λ-2=0\\ k+4λ=0\end{array}}\right.$，
解得k=-8．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的共線定理以及坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．