Question

如圖所示，AD是△ABC外角∠EAC的平分線，AD與△ABC的外接圓交于點D，N為BC延長線上一點，ND交△ABC的外接圓于點M．求證：
（1）DB=DC；
（2）DC²=DM•DN．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段

專題：立體幾何

分析：（1）由于四點A、B、C、D共圓，可得∠EAD=∠BCD，∠DAC=∠DBC．由于AD是△ABC外角∠EAC的平分線，可得∠EAD=∠DAC，即可證明；
（2）連接BM，CM．可得∠DBM=∠DCM，∠CBM=∠CDM，再利用（1）和圓的性質可得∠N=∠DCM，即可證明△CDM∽△NDC．進而得出答案．

解答： 證明：（1）∵四點A、B、C、D共圓，∴∠EAD=∠BCD，∠DAC=∠DBC，
∵AD是△ABC外角∠EAC的平分線，
∴∠EAD=∠DAC，
∴∠DBC=∠BCD．
∴DB=DC．
（2）連接BM，CM．
則∠DBM=∠DCM，∠CBM=∠CDM，
∴∠N=∠BCD-∠CDM=∠DBC-∠CBM=∠DBM=∠DCM，
又∵∠CDM公用，
∴△CDM∽△NDC．
∴

CD

ND

=

DM

CD

，
∴DC²=DM•DN．

點評：本題考查了四點共圓的性質、角平分線的性質、相似三角形的判定與性質，考查了推理能力和輔助線的作法，屬于中檔題．