Question

16．已知sinα-cosα=$\frac{1}{5}$，0≤α≤π，求sin（2α-$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 由題意和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinα和cosα，進(jìn)而由二倍角公式可得sin2α和cos2α，代入兩角差的正弦公式計(jì)算可得．

解答 解：∵sinα-cosα=$\frac{1}{5}$，sin²α+cos²α=1，
又∵0≤α≤π，∴sinα≥0，
解方程組可得：$\left\{\begin{array}{l}{sinα=\frac{4}{5}}\\{cosα=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
∴sin2α=2sinαcosα=$\frac{24}{25}$，
cos2α=cos²α-sin²α=-$\frac{7}{25}$，
∴sin（2$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2α-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2α=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{24}{25}-\frac{\sqrt{2}}{2}×（-\frac{7}{25}）$=$\frac{31\sqrt{2}}{50}$．
故答案為：$\frac{31\sqrt{2}}{50}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式，屬中檔題．