Question

（本小題滿分12分）已知四棱錐，側(cè)面底面，側(cè)面為等邊三角形，底面為菱形，且．

（1）求證：；

（2）求平面與平面所成的角（銳角）的余弦值．

Answer 1

(1)證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）解決立體幾何的有關(guān)問題，空間想象能力是非常重要的，但新舊知識的遷移融合也很重要，在平面幾何的基礎(chǔ)上，把某些空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決，有時很方便，利用已知的線面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.(2)證明證線線垂直，只需要證明直線的方向向量垂直；（3)把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;(4）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實施幾何問題代數(shù)化.同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理條件要完備.

試題解析：（1）取中點，連結(jié).

側(cè)面為等邊三角形，底面為菱形且

2分

4分

5分

（2）側(cè)面底面，側(cè)面底面=，

，

7分

以為坐標(biāo)原點，方向為軸，方向為軸，方向為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點坐標(biāo)為

則

8分

設(shè)面的法向量為，

則，令，解得 9分

設(shè)面的法向量為，同理解得 10分

面與面所成的角（銳角）的余弦值為 12分

考點：1、直線與直線垂直1的判定；2、平面與平面所成角的余弦值.