Question

18．已知等差數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式為a_n=2n，公比為q的等比數(shù)列{b_n}滿足b_n≥a_n（n∈N₊）恒成立，且b₄=a₄，則公比q的取值范圍為[$\frac{5}{4}$，$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 先求出$_{1}=\frac{8}{{q}^{3}}$，再由$\left\{\begin{array}{l}{_{5}≥{a}_{5}}\\{_{3}≥{a}_{3}}\end{array}\right.$，能求出公比q的取值范圍．

解答 解：∵等差數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式為a_n=2n，公比為q的等比數(shù)列{b_n}滿足b_n≥a_n（n∈N₊）恒成立，且b₄=a₄，
∴$_{1}{q}^{3}=8$，解得$_{1}=\frac{8}{{q}^{3}}$，
∵$\left\{\begin{array}{l}{_{5}≥{a}_{5}}\\{_{3}≥{a}_{3}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{8}{{q}^{3}}×{q}^{4}≥10}\\{\frac{8}{{q}^{3}}×{q}^{2}≥6}\end{array}\right.$，解得$\frac{5}{4}≤q≤\frac{4}{3}$．
∴公比q的取值范圍為[$\frac{5}{4}$，$\frac{4}{3}$]．
故答案為：[$\frac{5}{4}$，$\frac{4}{3}$]．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的公比的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．