Question

6．已知x∈R，設(shè)$\vec m=（2cosx\;，\;sinx+cosx）$，$\vec n=（\sqrt{3}sinx\;，\;sinx-cosx）$，記函數(shù)$f（x）=\vec m•\vec n$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（C）=2，$c=\sqrt{3}$，a+b=3，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式與和差公式可得f（x），再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出；
（2）利用三角函數(shù)求值、余弦定理與三角形的面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）∵$f（x）=\vec m•\vec n=2\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x-{cos^2}x=\sqrt{3}sin2x-cos2x$=$2sin（{2x-\frac{π}{6}}）$．  …（3分）
∴f（x）的最小正周期是T=π．…（4分）
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，…（6分）
得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$[{kπ-\frac{π}{6}\;，\;kπ+\frac{π}{3}}]$（k∈Z）． …（7分）
（2）由f（C）=2，得$sin（{2C-\frac{π}{6}}）=1$，…（1分）
∵0＜C＜π，所以$-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，
∴$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，$C=\frac{π}{3}$．          …（3分）
在△ABC中，由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，…（4分）
得3=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，即ab=2，…（5分）
∴△ABC的面積$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$． …（7分）

點(diǎn)評 本題了考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式與和差公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)求值、余弦定理與三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．