Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n′，S₃′=15，且a₂+b₂是a₁+b₁，a₃+b₃的等比中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，T_n=c₁+c₂+…+c_n，n∈N^*，若T_n＜M（M∈Z）對(duì)任意的n∈N^*恒成立，求M的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意和數(shù)列a_n與S_n關(guān)系式求出a_n，設(shè){b_n}的公差為d，則d＞0，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和題意列出方程組，求出公差和b₁，代入b_n化簡(jiǎn)即可；
（2）由（1）求出c_n，根據(jù)特點(diǎn)用錯(cuò)位相減法和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出T_n，化簡(jiǎn)后求出T_n的范圍，即可求出M的最小值．

解答 解：（1）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{b_n}的公差為d，則d＞0，
∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=$\frac{{3}^{1}-1}{2}$=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-_n-1=$\frac{{3}^{n}-1}{2}-\frac{{3}^{n-1}-1}{2}$=3^n-1，
經(jīng)驗(yàn)證n=1也滿足上式，∴a_n=3^n-1，
∵，S₃′=15，且a₂+b₂是a₁+b₁，a₃+b₃的等比中項(xiàng)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3_{1}+3d=15}\\{{（3+_{1}+d）}^{2}=（1+_{1}）（9+_{1}+2d）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{_{1}=3}\\{d=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{_{1}=15}\\{d=-10}\end{array}\right.$（舍去），
∴b_n=3+（n-1）×2=2n+1；
（2）由（1）知，c_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n+1}{{3}^{n-1}}$，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=$\frac{3}{{3}^{0}}$+$\frac{5}{{3}^{1}}$+$\frac{7}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2n+1}{{3}^{n-1}}$，①
$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{3}{{3}^{1}}+\frac{5}{{3}^{2}}+\frac{7}{{3}^{3}}+…+\frac{2n+1}{{3}^{n}}$，②
①-②得，$\frac{2}{3}$T_n=3+2（$\frac{1}{{3}^{1}}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n-1}}$）-$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$
=3+2×$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$=$4-\frac{2n+4}{{3}^{n}}$，
∴T_n=$6-\frac{2n+4}{{3}^{n-1}}$＜6，
∵T_n＜M（M∈Z）對(duì)任意的n∈N^*恒成立，∴M的最小值是6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，數(shù)列a_n與S_n關(guān)系式的應(yīng)用，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查方程思想，化簡(jiǎn)、計(jì)算能力，是中檔題．