Question

9．對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，不等式mt²+$\sqrt{xy+yz}$t+x²+2y²+3z²≥0恒成立，其中x、y、z∈（0，+∞），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（$\frac{\sqrt{6}}{24}$，+∞）．

Answer 1

分析 先根據(jù)關(guān)于t的函數(shù)，利用判別式，再分離參數(shù)，利用基本不等式即可求出答案．

解答 解：∵不等式mt²+$\sqrt{xy+yz}$t+x²+2y²+3z²≥0恒成立，
∴△≤0，
即（xy+yz）-4m（x²+2y²+3z²）≤0，
∴m≥$\frac{1}{4}$•$\frac{xy+yz}{{x}^{2}+2{y}^{2}+3{z}^{2}}$恒成立，
∵x²+2y²+3z²=（x²+$\frac{3}{2}$y²）+（$\frac{1}{2}$y²+3z²）≥2$\sqrt{\frac{3}{2}}$（xy+yz）=$\sqrt{6}$（xy+yz），
∴$\frac{xy+yz}{{x}^{2}+2{y}^{2}+3{z}^{2}}$≤$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴m≥$\frac{\sqrt{6}}{24}$，
故答案為：（$\frac{\sqrt{6}}{24}$，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了恒成立的問(wèn)題，關(guān)鍵是分離參數(shù)，構(gòu)造基本不等式，屬于中檔題．