Question

8．某公司財務部和行政部需要招人，現有甲、乙、丙、丁四人應聘，其中甲、乙兩人各自獨立應聘財務部，丙、丁兩人各自獨立應聘行政部，已知甲、乙兩人各自應聘成功的概率均為$\frac{1}{3}$，丙、丁兩人各自應聘成功的概率均為$\frac{1}{2}$．
（1）求財務部應聘成功的人數多于行政部應聘成功的人數的概率；
（2）記該公司被應聘成功的總人數為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）由已知利用相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出財務部應聘成功的人數多于行政部應聘成功的人數的概率．
（2）由已知得X可取0，1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答 解：（1）由已知得財務部應聘成功的人數多于行政部應聘成功的人數的概率：
P=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×（\frac{1}{2}）^{2}$$+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{7}{36}$．（3分）
（2）由已知得X可取0，1，2，3，4，
P（X=0）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{4}{36}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$+${C}_{2}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{12}{36}$，
P（X=2）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$+${C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{13}{36}$，
P（X=3）=${C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$+${C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{6}{36}$．
P（X=4）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{36}$．
∴X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{4}{36}$	$\frac{12}{36}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{1}{36}$

E（X）=$0×\frac{4}{36}+1×\frac{12}{36}+2×\frac{13}{36}+3×\frac{6}{36}+4×\frac{1}{36}$=$\frac{5}{3}$．（10分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求職求法，是中檔題，解題時要注意相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的靈活運用．