Question

如圖1­4所示，在四棱錐P ­ ABCD中，PA⊥底面ABCD,  AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為棱PC的中點．

(1)證明：BE⊥DC；

(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；

(3)若F為棱PC上一點，滿足BF⊥AC，求二面角F ­ AB ­ P的余弦值．

圖1­4

Answer 1

解：方法一：依題意，以點A為原點建立空間直角坐標系(如圖所示)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．C由E為棱PC的中點，得E(1，1，1)．

(1)證明：向量BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)，

故BE·DC＝0，

所以BE⊥DC.

(2)向量BD＝(－1，2，0)，PB＝(1，0，－2)．

設(shè)n＝(x，y，z)為平面PBD的法向量，

則即

不妨令y＝1，可得n＝(2，1，1)為平面PBD的一個法向量．于是有

cos〈n，BE〉＝＝＝，

所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為.

(3) 向量BC＝(1，2，0)，CP＝(－2，－2，2)，AC＝(2，2，0)，AB＝(1，0，0)．由點F在棱PC上，

設(shè)CF＝λ，0≤λ≤1.

故BF＝BC＋CF＝BC＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF⊥AC，得BF·AC＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，即BF＝.設(shè)n₁＝(x，y，z)為平面FAB的法向量，則即不妨令z＝1，可得n₁＝(0，－3，1)為平面FAB的一個法向量．取平面ABP的法向量n₂＝(0，1，0)，則

cos〈n₁，n₂〉＝＝＝－.

易知二面角F ­ AB ­ P是銳角，所以其余弦值為.

方法二：(1)證明：如圖所示，取PD中點M，連接EM，AM.由于E，M分別為PC，PD的中點，故EM∥DC，且EM＝DC.又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四邊形ABEM為平行四邊形，所以BE∥AM.

因為PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，從而CD⊥平面PAD.因為AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM.又BE∥AM，所以BE⊥CD.

(2)連接BM，由(1)有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD.而EM∥CD，故PD⊥EM.又因為AD＝AP，M為PD的中點，所以PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD，所以直線BE在平面PBD內(nèi)的射影為直線BM.而BE⊥EM，可得∠EBM為銳角，故∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角．

依題意，有PD＝2，而M為PD中點，可得AM＝，進而BE＝.故在直角三角形BEM中，tan∠EBM＝＝＝，因此sin∠EBM＝，

所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為.

(3)如圖所示，在△PAC中，過點F作FH∥PA交AC于點H.因為PA⊥底面ABCD，所以FH⊥底面ABCD，從而FH⊥AC.又BF⊥AC，得AC⊥平面FHB，因此AC⊥BH.在底面ABCD內(nèi)，可得CH＝3HA，從而CF＝3FP.在平面PDC內(nèi)，作FG∥DC交PD于點G，于是DG＝3GP.由于DC∥AB，故GF∥AB，所以A，B，F，G四點共面．由AB⊥PA，AB⊥AD，得AB⊥平面PAD，故AB⊥AG，所以∠PAG為二面角F ­ AB ­ P的平面角．

在△PAG中，PA＝2，PG＝PD＝，∠APG＝45°.由余弦定理可得AG＝，cos∠PAG＝，所以二面角F ­ AB ­ P的余弦值為.