Question

19．已知圓C₁：x²+y²-2mx+4y+m²-5=0與圓C₂：x²+y²+2x-2my+m²-3=0．當m為何值時：
（1）兩圓外切？
（2）兩圓內(nèi)切？

Answer 1

分析 （1）將圓C₁與圓C₂分別化成標準形式，可得它們的圓心坐標和半徑長．如果C₁與C₂外切，則兩圓的半徑之和等于它們圓心間的距離，由此建立關(guān)于m的方程，解之即可得到m的值；
（2）若C₁與C₂內(nèi)切，則兩圓的圓心距等于它們半徑之差的絕對值，由此建立關(guān)于m的不等式，即可解出m的取值范圍．

解答 解：∵圓C₁：x²+y²-2mx+4y+m²-5=0，∴將圓C₁化成標準方程，得
C₁：（x-m）²+（y+2）²=9，圓心為C₁（m，-2），半徑r₁=3
同理，C₂的標準方程是：（x+1）²+（y-m）²=4，圓心為C₂（-1，m），半徑r₂=2．
（1）如果圓C₁與圓C₂外切，則|C₁C₂|=r₁+r₂=5，即$\sqrt{（-1-m）^{2}+（m+2）^{2}}$=5
平方化簡整理，得m²+3m-10=0，解之得m=2或-5；
（2）如果圓C₁與圓C₂外切，則|C₁C₂|=r₁-r₂=1，即$\sqrt{（-1-m）^{2}+（m+2）^{2}}$=1
平方化簡整理，得m²+3m+2=0，解之得m=-2或-1．

點評 本題給出兩個含有字母m的圓的一般方程，在滿足外切、內(nèi)切的情況下求m的取值范圍．著重考查了圓的標準方程、兩點間的距離公式和圓與圓的位置關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題．