Question

10．某情報站有A，B，C，D四種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周未使用的三種密碼中等可能地隨機選用一種．設(shè)第1周使用A種密碼，那么第7周也使用A種密碼的概率是$\frac{61}{243}$．（用最簡分數(shù)表示）

Answer 1

分析 由題意可得，第n+1周也使用A種密碼的概率 P_n+1=P_n•$\frac{1}{3}$，且P₂=0，P₃=$\frac{1}{3}$，以此類推可得第七周使用A的概率P₇ 的值．

解答 解：第一周使用A，第二周使用A的概率P₂=0，第三周使用A的概率P₃=$\frac{1}{3}$，依此類推，
第四周使用A的概率 P₄=（1-$\frac{1}{3}$）•$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{9}$，
第五周使用A的概率P₅=（1-$\frac{2}{9}$）•$\frac{1}{3}$=$\frac{7}{27}$，
第六周使用A的概率P₆=（1-P₅）•$\frac{1}{3}$=$\frac{20}{81}$，
第七周使用A的概率P₇=（1-P₆）•$\frac{1}{3}$=$\frac{61}{243}$．
故答案為$\frac{61}{243}$．

點評 此題主要考查了概率公式，得到第n+1周也使用A種密碼的概率 P_n+1=P_n•$\frac{1}{3}$是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．