Question

【題目】已知橢圓C：（）的焦距等于短軸的長，橢圓的右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知直線l：（）與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)，使得，且，若存在，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）由題意可得的關(guān)系,解方程組求得,即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè),,聯(lián)立直線與橢圓方程,用韋達(dá)定理表示出,,利用弦長公式表示出.化簡(jiǎn)后用表示出,再通過判別式判斷出的取值范圍. 設(shè)出中點(diǎn)的坐標(biāo),由點(diǎn)斜式表示出直線的方程,并令求得的表達(dá)式及取值范圍即可.

（1）依題意橢圓的焦距等于短軸的長,橢圓的右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為

可得,

解得,

所以所求橢圓方程為；

（2）設(shè),,

由,

得,

,

∵,,

假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意,

,

化簡(jiǎn)整理得,

此時(shí)

恒成立,

所以且,

設(shè)中點(diǎn),

則,,

由,則在線段AB的中垂線上.

因?yàn)?/span>,

直線的方程為,

令,則,

∴,

∵,

∴,

∴,

∴,

∴或,

綜上,存在滿足題意.