Question

【題目】各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，，且.

（1）求證：數(shù)列不是等差數(shù)列；

（2）是否存在整數(shù)，使得對任意的都成立？證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）存在，證明見解析.

【解析】

（1）由，得，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可證明；

（2）證明數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是等差數(shù)列，分為偶數(shù)和為奇數(shù)兩種情況進行討論，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式得出，再解不等式，求出的范圍，即可得出結(jié)論.

（1）由，得

如果數(shù)列是等差數(shù)列，則，即，解得

與已知矛盾，則數(shù)列不是等差數(shù)列；

（2）當時，，

當時，由得，

兩式相減化簡得：

，

數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，公差為的等差數(shù)列

數(shù)列的偶數(shù)項是以為首項，公差為的等差數(shù)列

當為偶數(shù)時

對任意的都成立，即對任意的都成立

，結(jié)合，解得，

則可取，使得對任意為偶數(shù)時成立

當為奇數(shù)時

，即，結(jié)合，解得

則可取，使得對任意為奇數(shù)時成立

綜上，即存在整數(shù)為，使得對任意的都成立.