Question

【題目】已知橢圓 =1（a＞b＞0）的離心率為 ，右焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F重合．
（1）求橢圓的方程；
（2）過F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，橢圓的左焦點(diǎn)力F'，求△AF'B的面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意，得F（1，0），∴c=1，

又 ，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=3，

∴橢圓的方程為：

（2）解：顯然l的斜率不為0，設(shè)l：x=my+1，

聯(lián)立直線l與橢圓方程 ，化簡，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則△＞0恒成立，

由韋達(dá)定理，得y1+y2= ，y1y2= ，

∴ =

=|y1﹣y2|

=

=

= ，

令t= ，t≥1，則m2=t2﹣1，

∴ = = ，

令 （t≥1），則 = ＞0，

∴u（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)t=1即m=0時(shí)，umin（t）=u（1）=4，（ ）max=3，

故當(dāng)m=0時(shí)，△AF'B的面積的最大值為3

【解析】（1）根據(jù)題意得F（1，0），即c=1，再通過 及c2=a2﹣b2計(jì)算可得橢圓的方程；（2）由題設(shè)l：x=my+1，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），聯(lián)立直線l與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，得 = ，利用換元法計(jì)算即可．