Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù).

①求最大整數(shù)值；

②證明： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）①2；②見(jiàn)解析．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程（2）①先轉(zhuǎn)化條件為恒成立，再根據(jù)，得當(dāng)時(shí)， 恒成立.最后舉反例說(shuō)明當(dāng)時(shí)， 不恒成立.②對(duì)應(yīng)要證不等式，在中取，得，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式得左邊和為，顯然.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， ，∴，

又，∴，

則所求切線方程為，即.

（2）由題意知， ，

若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，則恒成立.

①先證明.設(shè)，則，

則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴，即.

同理可證，∴,∴.

當(dāng)時(shí)， 恒成立.

當(dāng)時(shí)， ，即不恒成立.

綜上所述， 的最大整數(shù)值為2.

②由①知， ，令，

∴，∴.

由此可知，當(dāng)時(shí)， .當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ， ，當(dāng)時(shí)， .

累加得.

又，

∴.