Question

7．在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，AB=2，AC=1，E，F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn)，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=$\frac{10}{9}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得到三角形為直角三角形，由$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$求出$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AF}$，即可求出$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的值．

解答 解：由于在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，
則∠BAC=90°，
由于E，F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn)，
則$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$，
又有$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}$，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF}$，
則$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，
又由AB=2，AC=1，
故$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=$\frac{2}{9}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{2}{9}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\frac{10}{9}$
故答案為：$\frac{10}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，熟練掌握向量的運(yùn)算法則和數(shù)量積運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．