Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax+2-a}{x+1}$，其中a∈R．
（1）當(dāng)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（-1，3）成中心對稱時，求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（3）若a=2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-2）上的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（-13）成中心對稱，y=f（x-1）-3是奇函數(shù)，求出a的值；
（2）化簡函數(shù)f（x），根據(jù)f（x）在（-1，+∞）上的單調(diào)性，求出a的取值范圍；
（3）根據(jù)a=2時f（x）的單調(diào)性，求出f（x）在區(qū)間（-∞，-2）上的值域．

解答 解：（1）∵“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（a，b）成中心對稱”的充要條件為：
“函數(shù)y=f（x+a）-b是奇函數(shù)”，
∴當(dāng)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（-1，3）成中心對稱時，
y=f（x-1）-3=$\frac{a（x-1）+2-a}{（x-1）+1}$-3=（a-3）+$\frac{2-2a}{x}$是奇函數(shù)，
∴a-3=0，解得a=3；
（2）∵函數(shù)f（x）=$\frac{ax+2-a}{x+1}$
=$\frac{a（x+1）+2-2a}{x+1}$
=a+$\frac{2-2a}{x+1}$，
當(dāng)f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞減時，
2-2a＞0，
解得a＜1，
∴a的取值范圍是（-∞，1）；
（3）當(dāng)a=2時，f（x）=$\frac{2x+2-2}{x+1}$=2-$\frac{2}{x+1}$，
函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-2）上是單調(diào)減函數(shù)，
∴2＜f（x）＜2-$\frac{2}{-2+1}$，
即2＜f（x）＜4，
∴函數(shù)f（x）的值域是（2，4）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與對稱性的應(yīng)用問題，也考查了求函數(shù)在某一區(qū)間上的值域的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．