Question

某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口北偏西且與該港口相距20海里的處，并以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小船沿直線方向以海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過小時(shí)與輪船相遇．

（Ⅰ）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

（Ⅱ）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向與航行速度的大�。�，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（本小題共15分）

解：（Ⅰ）解法一：若相遇時(shí)小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向?yàn)檎�北方�?設(shè)小艇與輪船在處相遇，

在中，，，

又，

所以，輪船航行時(shí)間，.

即，小艇以海里/時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小.

解法二：設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為海里，則

所以 當(dāng)時(shí)，，此時(shí).

即，小艇以海里/時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小.

（Ⅱ）設(shè)小艇與輪船在處相遇，則

，

故.

，

即，解得.

又時(shí)，.

故時(shí)，.

此時(shí)，在中，有，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：

航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.

解法二：由（Ⅰ）得

而小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，故輪船與小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，設(shè)小艇與輪船在處相遇，，，

由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時(shí)間分別為和，

所以，解得，

從而值，且最小值為，于是

當(dāng)取得最小值，且最小值為.

此時(shí)，在中，，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：

航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.

【解析】略