Question

18．一個(gè)長(zhǎng)為8cm，寬為6cm，高為10cm的密封的長(zhǎng)方體盒子中放一個(gè)半徑為1cm的小球，無論怎樣搖動(dòng)盒子，則小球在盒子中總不能到達(dá)的空間的體積為$80-\frac{58π}{3}$cm³．

Answer 1

分析 小球在盒子不能到達(dá)的空間要分以下幾種情況，在長(zhǎng)方體頂點(diǎn)處的小正方體中，其體積等于小正方體體積減球的體積，再求出在以長(zhǎng)方體的棱為一條棱的12個(gè)的四棱柱空間內(nèi)小球不能到達(dá)的空間，其他空間小球均能到達(dá)，即可得到結(jié)果．

解答 解：在長(zhǎng)方體的8個(gè)頂點(diǎn)處的單位立方體空間內(nèi)，
小球不能到達(dá)的空間為：8[1-$\frac{1}{8}•（\frac{4π}{3}•{1}^{3}）$]=8-$\frac{4π}{3}$，
除此之外，在以長(zhǎng)方體的棱為一條棱的12個(gè)的四棱柱空間內(nèi)，
小球不能到達(dá)的空間共為4[1×1×6+1×1×4+1×1×8-$\frac{1}{4}•（π•{1}^{2}）•（6+4+8）$]=72-18π．
其他空間小球均能到達(dá)．
故小球不能到達(dá)的空間體積為$80-\frac{58π}{3}$．
故答案為：$80-\frac{58π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的體積，棱柱的體積，其中熟練掌握棱柱和不堪的幾何特征，建立良好的空間想象能力是解答本題的關(guān)鍵．