Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+4}{e^{x+2}}$．
（I）討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)x＞-2時，xe^x+2+x+4＞0；
（Ⅱ）證明：當(dāng)a∈[0，1）時，函數(shù)g（x）=$\frac{{{e^{x+2}}-ax-3a}}{{{{（x+2）}^2}}}$（x＞-2）有最小值，設(shè)g（x）最小值為h（a），求函數(shù)h（a）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到f（x）＞f（-2），證明結(jié)論即可；
（Ⅱ）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到g（x）的最小值，分離a，得到$\frac{x_0}{{{x_0}+4}}{{e}^{{x_0}+2}}=-a∈（-1，0]$，所以-2＜x₀≤0．令$u（x）=\frac{1}{x+4}{{e}^{x+2}}（-2＜x≤0）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：由$f（x）=\frac{x}{x+4}{e^{x+2}}$，
得$f'（x）=（{\frac{4}{{{{（x+4）}^2}}}+\frac{x}{x+4}}）{e^{x+2}}=\frac{{{{（x+2）}^2}}}{{{{（x+4）}^2}}}{e^{x+2}}≥0，（x≠-4）$，
故f（x）在（-∞，-4）和（-4，+∞）上單調(diào)遞增，…（3分）
當(dāng)x＞-2時，由上知f（x）＞f（-2）=-1，
即$\frac{x}{x+4}{e^{x+2}}＞-1$，即xe^x+2+x+4＞0，得證．…（5分）
（Ⅱ）對$g（x）=\frac{{{{e}^x}-ax-3a}}{{{{（x+2）}^2}}}$求導(dǎo)，
得$g'（x）=\frac{{x{{e}^{x+2}}+a（x+4）}}{{{{（x+2）}^3}}}=\frac{{（x+4）[\frac{x}{x+4}{{e}^{x+2}}+a]}}{{{{（x+2）}^3}}}$，x＞-2．  …（6分）
記$φ（x）=\frac{x}{x+4}{{e}^{x+2}}+a$，x＞-2．
由（Ⅰ）知，函數(shù)φ（x）區(qū)間（-2，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
又φ（-2）=-1+a＜0，φ（0）=a＞0，所以存在唯一正實數(shù)x₀，使得$φ（{x_0}）=\frac{{{x_0}-2}}{{{x_0}+2}}{{e}^{x_0}}+a=0$．
于是，當(dāng)x∈（-2，x₀）時，φ（x）＜0，g'（x）＜0，
函數(shù)g（x）在區(qū)間（-2，x₀）內(nèi)單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時，φ（x）＞0，g'（x）＞0，
函數(shù)g（x）在區(qū)間（x₀，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
所以g（x）在（-2，+∞）內(nèi)有最小值$g（{x_0}）=\frac{{{{e}^{{x_0}+2}}-a{x_0}-3a}}{{{{（{x_0}+2）}^2}}}$，
由題設(shè)即$h（a）=\frac{{{{e}^{{x_0}+2}}-a{x_0}-3a}}{{{{（{x_0}+2）}^2}}}$．                                       …（9分）
又因為$-a=\frac{x_0}{{{x_0}+4}}{{e}^{{x_0}+2}}$．所以$h（a）=g（{x_0}）=\frac{1}{{{x_0}+4}}{{e}^{{x_0}+2}}$．
根據(jù)（Ⅰ）知，f（x）在（-2，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
$\frac{x_0}{{{x_0}+4}}{{e}^{{x_0}+2}}=-a∈（-1，0]$，所以-2＜x₀≤0．
令$u（x）=\frac{1}{x+4}{{e}^{x+2}}（-2＜x≤0）$，
則$u'（x）=\frac{x+3}{x+4}{{e}^{x+2}}＞0$，函數(shù)u（x）在區(qū)間（-2，0]內(nèi)單調(diào)遞增，
所以u（-2）＜u（x）≤u（0），
即函數(shù)h（a）的值域為$（\frac{1}{2}，\frac{{{{e}^2}}}{4}]$．                                         …（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，考查函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．