Question

6．給出下列四個(gè)命題：
①△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要條件；
②當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，有$lnx+\frac{1}{lnx}≥2$；
③已知S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若S₇＞S₅，則S₉＞S₃；
④若函數(shù)$y=f（x-\frac{3}{2}）$為R上的奇函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）的圖象一定關(guān)于點(diǎn)F（$\frac{3}{2}$，0）成中心對(duì)稱．
其中所有正確命題的序號(hào)為①③．

Answer 1

分析 ①由題意可知，在三角形中，A＞B?a＞b，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，因此a＞b?sinA＞sinB，即可判斷出正誤；
②當(dāng)1＞x＞0時(shí)，lnx＜0，即可判斷出正誤；
③等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若S₇＞S₅，則S₇-S₅=a₆+a₇＞0，S₉-S₃=3（a₆+a₇），即可判斷出正誤；
④若函數(shù)$y=f（x-\frac{3}{2}）$為R上的奇函數(shù)，則$f（-x-\frac{3}{2}）+f（x-\frac{3}{2}）$=0，因此函數(shù)y=f（x）的圖象一定關(guān)于點(diǎn)F$（-\frac{3}{2}，0）$成中心對(duì)稱，即可判斷出正誤．

解答 解：①由題意可知，在三角形中，A＞B?a＞b，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，因此a＞b?sinA＞sinB，因此△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要條件，正確；
②當(dāng)1＞x＞0時(shí)，lnx＜0，所以不一定大于等于2，不成立；
③等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若S₇＞S₅，則S₇-S₅=a₆+a₇＞0，S₉-S₃=a₄+a₅+…+a₉=3（a₆+a₇）＞0，因此S₉＞S₃，正確；
④若函數(shù)$y=f（x-\frac{3}{2}）$為R上的奇函數(shù)，則$f（-x-\frac{3}{2}）+f（x-\frac{3}{2}）$=0，因此函數(shù)y=f（x）的圖象一定關(guān)于點(diǎn)F$（-\frac{3}{2}，0）$成中心對(duì)稱，因此不正確．
綜上只有①③正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、正弦定理、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．